6.5 Parallelogramme

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

Gegeben ist ein Parallelogramm mit den Seiten a = 18 dm und b = 10,5 dm und der Höhe h = 8,4 dm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!

Gesucht
1.)	Umfang:	dm
2.)	Flächeninhalt:	dm²

Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:

Umfang
Flächeninhalt
Höhe
Seitenlänge a oder b

Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden.

Die Parallelogramme in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.

Grundwissen zu Parallelogrammen

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Übliche Bezeichnungen im Parallelogramm sind:

die Eckpunkte A, B, C, D
die Seiten a, b, c, d
die Winkel α, β, γ, δ
die Diagonalen e, f
der Schnittpunkt der Diagonalen M

Die Bezeichnung erfolgt jeweils entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn.

Für das Parallelogramm gilt:

Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang: a = c und b = d.
Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß: α = γ und β = δ.
Die benachbarten Winkel sind supplementär, d. h. sie ergänzen einander zu 180°:
- α + β = 180°
- β + γ = 180°
- γ + δ = 180°
- δ + α = 180°
Die Diagonalen halbieren einander.

Berechnung des Umfangs eines Parallelogramms

Den Umfang des Parallelogramms berechnet man durch Addition der vier Seiten. Da die Seiten a, c und b, d gleich lang sind, ergibt sich folgende Formel:

u = 2a + 2b = 2(a + b)

Der Umfang des Parallelogramms aus der Beispielaufgabe beträgt also:

u = 2 · (18 dm + 10,5 dm)

u = 2 · 28,5 dm

u = 57 dm

Berechnung der Fläche eines Parallelogramms

Herleitung der Formel

Wir konstruieren ein beliebiges Parallelogram mit den Eckpunkten A, B, C, D.

Wir zeichnen die Höhe ausgehend vom Punkt D auf die Seite a. Den Schnittpunkt der Höhe und der Seite a nennen wir E. Dadurch entsteht das rechtwinklige Dreieck AED.

Wir verschieben das Dreieck AED nach rechts, bis der Punkt A auf Punkt B liegt.

Das entstandene Rechteck hat einen Flächeninhalt von a · h (Seite mal Höhe). Da die Fläche des Rechtecks gleich der Fläche des Parallelogramms ist, lautet die Formel zu Berechnung der Fläche des Parallelogramms also:

A = a · h

Der Flächeninhalt des Parallelogramms aus der Beispielaufgabe beträgt also:

A = a · h

A = 18 dm · 8,4 dm

A = 151,2 dm²

Berechnung der Seiten/Höhe eines Parallelogramms bei gegebenem Umfang/Flächeninhalt

Die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Parallelogramms lassen sich natürlich umstellen, falls der Umfang und eine Seite usw. gegeben ist. Folgende Varianten sind möglich und werden geübt:

gegeben

gesucht

Formel

Umfang, Seite a

Seite b

u = 2 · (a + b) | : 2

u	= a + b \| - a
2

u	- a = b
2

a =	u	- a
	2

Umfang, Seite b

Seite a

u = 2 · (a + b) | : 2

u	= a + b \| - b
2

u	- b = a
2

a =	u	- b
	2

Fläche, Seite a

Höhe h

A = a · h | : a

A	= h
a

h =	A
	a

Fläche, Höhe h

Seite a

A = a · h | : h

A	= a
h

a =	A
	h

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.	Gesucht	Ergebnis	Lösungshinweise
1. Teilaufgabe	gesucht: Umfang	Ergebnis: 57 dm	Lösungshinweise: gegeben: Parallelogramm mit den Seiten a = 18 dm und b = 10,5 dm gesucht: Umfang u Lösung: u = 2 · (a + b) u = 2 · (18 dm + 10,5 dm) u = 57 dm
2. Teilaufgabe	gesucht: Flächeninhalt	Ergebnis: 151,2 dm²	Lösungshinweise: gegeben: Parallelogramm mit der Seite a = 18 dm und der Höhe h = 8,4 dm gesucht: Flächeninhalt A Lösung: A = a · h A = 18 dm · 8,4 dm A = 151,2 dm²

Nr.

Gesucht

Ergebnis

Lösungshinweise

1. Teilaufgabe

gesucht: Umfang

Ergebnis: 57 dm

Lösungshinweise:

gegeben: Parallelogramm mit den Seiten a = 18 dm und b = 10,5 dm

gesucht: Umfang u

Lösung: u = 2 · (a + b)

u = 2 · (18 dm + 10,5 dm)

u = 57 dm

2. Teilaufgabe

gesucht: Flächeninhalt

Ergebnis: 151,2 dm²

Lösungshinweise:

gegeben: Parallelogramm mit der Seite a = 18 dm und der Höhe h = 8,4 dm

gesucht: Flächeninhalt A

Lösung:

A = a · h

A = 18 dm · 8,4 dm

A = 151,2 dm²