1.1 Addition

Von Vorteil ist es, durch Übung zu erkennen, welche Zahlen "zusammenpassen" und das Kopfrechnen erleichtern. In welcher Reihenfolge man die Zahlen addiert, ist ja bekanntlich egal.

Schauen wir uns das an zwei Beispielen an:

• 65 + 59 + 20 + 72 + 21
• 83 + 98 + 78 + 58 + 66

Das Beispiel 65 + 59 + 20 + 72 + 21 sieht zwar nicht ganz leicht aus, aber wenn man erst 59 + 21 ( = 80) rechnet, dann 20 addiert ( = 100) und dann 65 + 72 ( = 137) hinzuzählt ( = 237), ist es eigentlich recht einfach. Man muss die zusammenpassenden Zahlen nur sehen. Und das lernt man beim Üben. Am Anfang ist dabei ein Zettel für Zwischenergebnisse sehr nützlich.

Auch die Aufgabe 83 + 98 + 78 + 58 + 66 verliert ihren Schreck und wird selbst im Kopf einfach, wenn man sieht, dass die drei Achten mit der Sechs zusammenpassen und ein rundes Ergebnis bilden: 8 + 8 + 8 = 24 + 6 = 30. Und 90 + 70 + 50 ist auch nicht schwer, denn im Prinzip rechnet man 9 + 7 + 5 und hängt eine Null an, also 210. Dazu noch die 30 und die 60. Das macht glatt 300. Und 300 + 83 = 383 ist nicht schwer.

Natürlich muss man erkennen können, welche Zahlen "bequem" zu rechnen sind, weil sie "zusammenpassen". Es sind aber gar nicht viele, sodass man sie mit etwas Übung sicher und schnell erkennen kann. Und dann merkt man auch, dass man eigentlich immer nur im Bereich von 0 bis 9 rechnet, allerdings für die 1er, 10er, 100er, 1000er Stellen usw., wobei man gegebenenfalls auf die so genannten Zehnerüberträge achten muss.

Interessierte seien hier auf das alte Rechenhilfsmittel Abakus in der Wikipedia verwiesen, mit dem man den Zehnerübertrag beim Addieren im wahrsten Sinne des Wortes begreifen kann.

Kleine Merkhilfe: Zehnerüberträge gibt es immer, wenn die Summe der Zahlen für die betreffende Stelle gleich oder größer 10 ist. Addiert man zum Beispiel zwei einstellige Zahlen wie 5 + 6, ist das Ergebnis 11 zweistellig, wobei die 1 in der Zehnerstelle aus 5 + 6 = 1 merke 1 kommt. Addiert man zwei zweistellige Zahlen wie 50 + 60, ist das Ergebnis 110 dreistellig (Einerstelle: 0 + 0 = 0, Zehnerstelle: 5 + 6 = 1 merke 1, Hunderterstelle 1 aus merke 1).

Hat man das Zehnerübertragssystem wirklich verstanden, dann hilft das beim Einschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen. Man kann zum Beispiel ohne zu rechnen sehen, ob ein Ergebnis falsch sein muss oder richtig sein kann.

Beispiele

• Die Summen aller Paare zweistelliger Zahlen, bei denen die Summen der Einer- und Zehnerstellen kleiner oder gleich 9 sind, sind auch zweistellig. Dabei ist es fast schwerer mit Worten auszudrücken, was man auf einen Blick sieht: Die Summen von 11 + 88 oder 50 + 49 oder 27 + 72 usw. sind auf jeden Fall zweistellig. Wer da ein dreistelliges Ergebnis ausrechnet, hat Probleme beim Rechnen im Bereich von 1 bis 9.
• Das gilt auch für die Summe aller Paare dreistelliger, vierstelliger usw. Zahlen, wobei dann natürlich die Hunderter-, Tausenderstellen usw. hinzukommen.
• Die Summe zweier zweistelliger Zahlen kann nicht vierstellig sein. (Für eine vierstellige Summe braucht man mindestens 11 zweistellige Zahlen, nämlich 10 mal die 99 und die 10.)
• usw. usf.

Bei diesen Überlegungen geht es im Grunde immer wieder darum, einen Überschlag zu machen bzw. die mögliche Korrektheit eines Ergebnisses begründet abzuschätzen. Der Taschenrechner ist zwar eine große Hilfe, aber er rechnet nur richtig, wenn man die richtigen Zahlen und Operatoren eingibt - man muss ein Ergebnis also auf seine Richtigkeit prüfen können, was in vielen Fällen gar nicht schwer ist.

Noch ein paar praktische Tipps:

Folgende Zahlenpaare sind bei der Addition bequem, weil sie zusammen 10 ergeben:

• 1 + 9
• 2 + 8
• 3 + 7
• 4 + 6
• 5 + 5
• 6 + 4
• 7 + 3
• 8 + 2
• 9 + 1

Übrigens, wenn man eine Zahlenkolonne nach oben oder unten verschieben würde, käme man wieder auf Zahlenpaare, die immer dieselbe Summe ergeben: 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, 3 + 6 = 9 usw. oder 1 + 7 = 8, 2 + 6 = 8, 3 + 5 = 8 usw.

Auch folgende Zahlenpaare sind bei der Addition bequem, weil sie zusammen 15 ergeben:

• 6 + 9
• 7 + 8

Mit ein bisschen Übung sieht man dann die Ähnlichkeiten zwischen 7 + 3 und 77 + 33 ( 70 + 30 = 100 + 7 + 3 = 110).

Und mit noch etwas mehr Übung sieht man bequeme Rechenwege über mehrere Zahlen wie im Beispiel 83 + 98 + 78 + 58 + 66.

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Bei mehrschrittigen Aufgaben werden die einzelnen Lösungsschritte angezeigt.

Übt man auch mit negativen Zahlen, so kann man wählen, ob die Lösungsschritte vereinfacht werden sollen.

In der folgenden Abbildung sieht man den Unterschied. Bei der Vereinfachung der Lösungsschritte werden vor dem Berechnen die Klammern aufgelöst und die Operatoren angepasst. Da das aber nicht alle beim Kopfrechnen für einfacher halten, kann man selbst entscheiden, wie die Lösungsschritte im Falle eines Fehlers angezeigt werden sollen.

Achtung! Ändert man die Option Lösungsschritte vereinfachen, so wird die Änderung erst wirksam, wenn man sich neue Aufgaben anzeigen lässt.