Bei diesen Aufgaben berechnest du den Prozentsatz. Die Aufgaben sehen zum Beispiel so aus:
Aufgabe
Ergebnis
1.)
6 von 8
%
2.)
94 von 100
%
3.)
8 von 25
%
4.)
2 von 8
%
5.)
9 von 20
%
Zum Verständnis
Ganz allgemein drücken Prozentangaben Verhältnisse mit Bezug auf die feste Vergleichsgröße von 100 % aus.
Der Prozentsatz beschreibt dabei das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert im Bezug zu 100 %.
Nehmen wir als Beispiel folgenden Satz: 15 der 30 Schüler in der Klasse tragen heute gelbe Socken. Die Zahlen sind einfach: 15 von 30 ist die Häfte. Die Hälfte von 100 ist 50, also tragen 50 % der Schüler der Klasse heute gelbe Socken.
Der Prozentsatz von 50 % sagt dabei, wie viele Schüler in einer Klasse mit 100 Schülern gelbe Socken tragen würden. Das Wort Prozent bedeutet ja auch auf deutsch vom Hundert, in manchen Texten findet man die Abkürzung v.H. statt des Prozentzeichens.
Man kann sich die Prozentangaben auch als das Verhältnis zweier Brüche zueinander vorstellen.
konkretes Beispiel
15 Schüler
=
50
30 Schüler
100
allgemeiner Ausdruck
Prozentwert
=
Prozentsatz
Grundwert
100
Dabei steht die 15 zur 30 im selben Verhältnis wie die 50 zur 100. In unserem Zahlenbeispiel ist es jeweils die Hälfte. Daraus lässt sich ganz einfach die allgemeine Formel zur Berechnung des Prozentsatzes ableiten.
Die Formel
Prozentsatz
Prozentsatz =
Prozentwert · 100
Grundwert
Angewendet auf unsere Aufgabe bedeutet das:
50 =
15 Schüler · 100
30 Schüler
Wie man das rechnet, bleibt den eigenen Vorlieben und den konkreten Zahlen überlassen:
Manche sehen, dass 15 die Hälfte von 30 ist, und wissen, dass die Hälfte gleich 50 % ist.
Andere kürzen 15 und 30 und rechnen 100 : 2.
Noch andere sagen, 15 : 30 ist 0,5 und 0,5 · 100 ist 50 %.
Man kann auch 15 · 100 rechnen und dann durch 30 teilen.
Das Prozentzeichen
Das Prozentzeichen % entspricht einem mathematischen Operator, der den davorstehenden Prozentsatz p durch 100 teilt. Die folgenden Schreibweisen sind identisch:
50 % =
50
=
1
= 0,5
100
2
Wie man im Beispiel sieht, kann der Prozentwert als Bruch geschrieben und auch, falls möglich, gekürzt werden. Deshalb ist 50 % der Schüler mathematisch dasselbe wie die Hälfte der Schüler.
Lösungen
Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen:
Hinweise für die, die nicht gerne Formeln lernen (muss man nicht lesen)
Man muss die Formel nicht lernen, sondern man kann sie immer und jederzeit herleiten. Egal, ob man Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert berechnen will. Dazu reicht es, sich ein einfaches Beispiel zu merken. Wichtig dabei ist, sich das Beispiel als Verhältnis zu merken, dass man mit Hilfe zweier Brüche ausdrücken kann.
mit Einheiten:
15 Schüler
=
50
30 Schüler
100
ohne Einheiten:
15
=
50
30
100
Nun muss man nur den gesuchten Wert einsetzen und danach umformen. Für den Prozentsatz bedeutet das:
gesucht:
15
=
Prozentsatz
30
100
umgeformt:
Prozentsatz =
15 · 100
30
Das war es dann auch schon. Die ganz Pfiffigen sehen an dieser Stelle vielleicht, dass die ganze Prozentrechnung ein Spezialfall der Dreisatzaufgaben ist, da ein Wert immer 100 beträgt. Nur so zum Nachdenken und zum Erkennen der mathematischen Muster ein Beispiel: 1 Brot kostet 2 Euro. Wie viel Brote bekommt man für 6 Euro? Als Verhältnis ausgedrückt bedeutet das: 1 Brot steht im selben Verhältnis zu 2 Euro wie x Brote zu 6 Euro. Als Bruch geschrieben sieht das so aus:
gesucht:
1 Brot
=
x Brote
2 Euro
6 Euro
umgeformt:
3 Brote =
1 · 6
2
Im Grunde geht es nur um Verhältnisse zwischen Zahlen ...
