4.1 Dreisatzaufgaben Typ 1

Dreisatzaufgaben begegnen uns auf Schritt und Tritt, nicht nur in der Schule und im Beruf. Als einfaches Beispiel hier folgende Frage: Wie viel kosten 2 Stück Kuchen, wenn 1 Stück 2,50 Euro kostet?

Verallgemeinert geht es dabei um ein Verfahren, wie man aus drei gegebenen Werten einen gesuchten vierten Wert berechnet. Die Werte müssen dabei in einem Verhältnis zueinander stehen: Das Beispiel mit dem Kuchen hätte wenig Sinn, wenn man fragte: Wie viel kosten 2 Stück Kuchen, wenn ein Brot 3 Euro kostet?

Mathematisch gesehen geht es bei Dreisatzaufgaben um Proportionalitäten, also um Verhältnisse von Zahlen zueinander. Man unterscheidet zwischen Dreisatzaufgaben mit geradem (= proportionalem) Verhältnis und mit ungeradem (= indirekt proportionalem) Verhältnis.

An dieser Stelle geht es um Dreisatzaufgaben mit geradem (= proportionalem) Verhältnis. Einfach gesagt, bedeutet proportional, dass aus mehr mehr wird und aus weniger weniger. Im Beispiel mit dem Kuchen: mehr Geld = mehr Kuchen, weniger Geld = weniger Kuchen. Diesen Zusammenhang muss man erkennen, denn er ist die Grundlage für die Lösung.

Fast jeder kann sagen, dass 2 Stück Kuchen 5 Euro kosten, wenn 1 Stück 2,50 Euro kostet. Fragt man warum, hört man so etwas wie: Ist doch logisch! Das sieht man doch! Weißt du das denn nicht? usw. usf. Wer das Warum kennt, kann gleich ein bisschen üben oder etwas anderes machen. Die anderen sollten lesen und verstehen. Es ist eigentlich ganz einfach.

Proportionalität

Ausgehend von Beispiel mit dem Kuchen lässt sich sagen:

1. Das 1 Stück Kuchen in unserem Beispiel steht in einem bestimmten Verhältnis zum Preis von 2,50 Euro.
2. Dieses Verhältnis lässt sich mit einem Faktor (= Proportionalitätsfaktor) beschreiben.
3. Diesen Faktor berechnet man so: Preis geteilt durch Stückzahl: 2,50 : 1 = 2,5.
4. Das Verhältnis zwischen Stück Kuchen und Preis ist also das von 1 zu 2,5.
   Das 1 Stück Kuchen multipliziert mit dem Faktor 2,5 ergibt den Preis von 2,50 €: 1 · 2,5 = 2,5.

Damit haben wir den Proportionalitätsfaktor und könnten bereits ausrechnen, was 2 Stück Kuchen kosten, nämlich
2 · 2,5 = 5. Aber warum und wie kommt dieser Faktor von 2,5 zu den 2 Stück Kuchen? Warum können und dürfen wir denselben Faktor verwenden? Wir wissen ja, dass 2 Stück Kuchen 5 Euro kosten, aber es fehlt noch die Erklärung:

1. Die 2 Stück Kuchen in unserem Beispiel stehen in einem bestimmten Verhältnis zum Preis von 5,00 Euro.
2. Dieses Verhältnis lässt sich mit einem Faktor (= Proportionalitätsfaktor) beschreiben.
3. Diesen Faktor berechnet man so: Preis geteilt durch Stückzahl: 5,00 : 2 = 2,5.
4. Das Verhältnis zwischen Stück Kuchen und Preis ist also das von 1 zu 2,5.
   Die 2 Stück Kuchen multipliziert mit dem Faktor 2,5 ergeben den Preis von 5,00 €: 2 · 2,5 = 5.

Da ist sie, die Proportionalität: die 2 Kuchenstücke und der Preis stehen auch im Verhältnis von 1 zu 2,5.

Der Rest ist genial einfach, man muss ihn nur sehen: In den beiden rot hervorgehobenen Gleichungen steht auf der rechten Seite jeweils der Faktor 2,5. Dass 2,5 = 2,5 ist, lässt sich schwer bestreiten. Daraus folgend gilt aber auch:

Damit liegt eine einfache Gleichung vor, die man lösen kann. Wir setzen für die 5 ein x ein, denn das ist ja die gesuchte Größe in der Frage Wie viel kosten 2 Stück Kuchen, wenn 1 Stück 2,50 Euro kostet?

Jetzt stellen wir die Gleichung nach x um und lösen sie:

Das war schon alles. Das schöne an diesem Ansatz ist, dass er universell ist. Denn aus mathematischer Sicht ist es egal, ob man die Stückzahl von Kuchen zum Preis ins Verhältnis setzt oder den Preis zur Stückzahl von Kuchen. Man kann auch Preis zu Preis und Stückzahl zu Stückzahl ins Verhältnis setzen - die Lösung ist die gleiche:

Setz in allen Beispielen zur Probe für die 5 ein x ein, stell nach x um und löse die Gleichungen. Das Ergebnis ist immer 5, denn alle Umformungen ergeben x = (2,50 : 1) · 2. Dabei ist alles mathematisch sauber formuliert.

Brüche und Einheiten

In den meisten Lehrbüchern zur kaufmännischen Mathematik tauchen bei Dreisatzaufgaben Brüche auf. Dabei wird mit Begriffen wie gedachter Bruchstrich operiert und erklärt, was auf und unter diesen gedachten Bruchstrich geschrieben werden muss. Das ist unnötig, denn es handelt sich um einfache Mathematik.

Man kann nämlich eine Division als Bruch schreiben:

Beide Ausdrücke in der Gleichung sind identisch, sie sind nur anders geschrieben: einmal als Division und einmal als Bruch. Wenn wir unsere komplette Gleichung als Bruch schreiben, sieht das so aus:

Jetzt setzten wir noch x für die gesuchte Größe ein:

Wir stellen nach x um:

Nun setzen wir auch die Einheiten ein:

Da sich bei der Division von 2 Stück Kuchen durch 1 Stück Kuchen die Einheit wegkürzt, bleibt als Ergebnis:

Das war schon alles. Der Vorteil der Schreibweise in Brüchen ist, dass man sehen kann, welche Zahlen miteinander gekürzt werden können (falls möglich), und mit kleineren Zahlen lässt sich einfacher rechnen. Außerdem sieht man, wie eine Einheit durch Kürzen wegfällt.

Zusammenfassung

Vorher wussten wir, dass 2 Stück Kuchen 5 Euro kosten, jetzt sollten wir wissen, warum es 5 Euro sind, nämlich aufgrund des proportionalen Verhältnisses.

Die Lösung der Aufgabe besteht dabei aus drei Schritten:

1. Verhältnisgleichung aufstellen
2. nach der gesuchten Größe umformen
3. ausrechnen

Dabei ist die Frage, ob man in der Gleichung Brüche verwendet oder die Division ausschreibt, völlig unerheblich für die Lösung. Verwende die Schreibweise, die dir mehr liegt oder die in deiner Schule gefordert wird.

Als letzter Hinweis für Interessierte, die sich Proportionalität bildlich vorstellen wollen: Das konkrete proportionale Verhältnis ist eine lineare Funktion, die durch den Ursprung des x-y-Koordinatensystems verläuft (0 Stück Kuchen kosten 0 Euro) und beim x-Wert von 1 (= 1 Stück Kuchen) den y-Wert des Proportionalitätsfaktors (= 2,50 Euro, der Preis pro Stück) hat. Der Rest ist Arbeit mit dem Lineal und Ablesen ...

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen: