Dreisatzaufgaben vom Typ 2 sind Aufgaben mit einem indirekt proportionalen Verhältnis (manchmal auch ungerades Verhältnis genannt). Die Textaufgaben sehen zum Beispiel so aus:
| Nr. | Aufgabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| 1. Aufgabe | Der Herr Bankdirektor Alois Scherflein kommt mit seinem Geld 16 Tage aus, wenn er täglich 240,00 € ausgibt. Wie viel Geld könnte er ausgeben, wenn es für 20 Tage reichen müsste? | Ergebnis: € |
| 2. Aufgabe | Für den Kauf eines Autos braucht Harald Schenker noch etwas Geld. Er plant, 4 Monate lang jeweils 100,00 € zu sparen. Wie viel müsste er monatlich zurücklegen, wenn er stattdessen nur 2 Monate sparen wollte? | Ergebnis: € |
| 3. Aufgabe | Herr Kruse will einen Zaun bauen und dazu 32 Pfosten mit einem Abstand von 135 cm setzen. Da ihm die Pfosten zu teuer sind, möchter er nur 20 Pfosten verwenden. Wie groß ist dann den Abstand zwischen den Pfosten? | Ergebnis: cm |
| 4. Aufgabe | Peter fährt mit dem Auto zur Arbeit. Er benötigt bei einer Geschwindigkeit von 40 km/h eine Fahrzeit von 18 Minuten. Als er verschläft, bleiben ihm nur noch 12 Minuten für den Weg. Wie schnell müsste er fahren, um pünktlich zu sein? | Ergebnis: km/h |
| 5. Aufgabe | Für seine 48 Karnickel bestellte ein Bauer aus Oberfranken vor zwei Wochen Kraftfutter. Dieser Vorrat reicht für 240 Tage. Kurz vor Lieferung kauft er eine Partie weiterer Tiere, sodass er insgesamt 192 Karnickel hat. Wie lange wird der bestellte Vorrat jetzt reichen? | Ergebnis: Tage |
Hinweis: Die Aufgaben werden hier der Kürze wegen als Dreisatzaufgaben vom Typ 2 bezeichnet, insbesondere damit in den Protokollen nicht immer die eigentlich korrekte, aber sehr lange Bezeichnung Textaufgaben mit Verhältnisgleichungen mit indirekt proportionalem Verhältnis verwendet werden muss.
Auch diese Art von Dreisatzaufgaben begegnet uns häufig im Leben, nicht nur in der Schule und im Beruf. Als einfaches Beispiel hier folgende Situation: Paul teilt sich sein wöchentliches Taschengeld gut ein und gibt täglich 5 € aus. Wie viel Tage würde sein Geld reichen, wenn er 10 € täglich ausgeben würde?
Verallgemeinert geht es dabei um ein Verfahren, wie man aus drei gegebenen Werten einen gesuchten vierten Wert berechnet. Die Werte müssen dabei in einem Verhältnis zueinander stehen: Das Beispiel mit Paul hätte wenig Sinn, wenn man fragte: Wie viel Pommes hat Paul letzte Woche gegessen?
Mathematisch gesehen geht es bei Dreisatzaufgaben um Proportionalitäten, also um Verhältnisse von Zahlen zueinander. Man unterscheidet zwischen Dreisatzaufgaben mit geradem (= proportionalem) Verhältnis und mit ungeradem (= indirekt proportionalem) Verhältnis.
An dieser Stelle geht es um Dreisatzaufgaben mit ungeradem (= indirekt proportionalem) Verhältnis. Einfach gesagt, bedeutet indirekt proportional, dass - bezogen auf eine bestimmte Menge - aus mehr weniger wird und aus weniger mehr. Im Beispiel mit Paul und seinem Geld: täglich mehr Geld ausgeben = das Geld reicht nicht so lange, täglich weniger Geld ausgeben = das Geld reicht länger. Diesen Zusammenhang muss man erkennen, denn er ist die Grundlage für die Lösung.
Fast jeder kann sagen, dass Paul in der Aufgabe mit seinem Geld nur eine halbe Woche reicht. Fragt man warum, hört man so etwas wie: Ist doch logisch! Das sieht man doch! Weißt du das denn nicht? Wenn sich da was verdoppelt, da muss sich das andere halbieren. usw. usf. Wer das Warum kennt, kann gleich ein bisschen üben oder etwas anderes machen. Die anderen sollte lesen und verstehen. Es ist eigentlich ganz einfach.
Hinweis: Es ist von Vorteil, die mathematischen Grundlagen und das Lösungsverfahren von Dreisatzaufgaben mit proportionalem Verhältnis zu kennen und zu beherrschen. Eine kurze Gegenüberstellung finden Sie bei den Hinweisen zu den gemischten Dreisatzaufgaben.
Im folgenden werden drei mögliche Lösungswege gezeigt. Entscheide selbst, welcher dir am praktikabelsten erscheint.
Wer es eilig hat, der schaut sich die Hinweise zur Bearbeitung der Aufgaben weiter unten an.
Dieser Lösungsweg ist der einfachste und hat mit der indirekten Proportionalität scheinbar am wenigsten zu tun. Die für die Lösung entscheidende Tatsache ist, dass das Produkt der Zahlenpaare im Bedingungssatz und im Fragesatz gleich ist:
Da 35 = 35 ist, lässt sich daraus folgende Gleichung ableiten:
| 5 · 7 = 10 · 3,5 |
Wir setzen den gesuchten Wert x statt 3,5 ein:
| 5 · 7 = 10 · x |
Wir stellen nach x um und berechnen:
| 5 · 7 = 10 · x | :10 |
| (5 · 7) : 10 = x |
| x = 3,5 |
Das war's schon. Zu erkennen, dass es sich bei der Aufgabe um ein indirekt proportionales Verhältnis handelt, war also nur notwendig, um uns für den Lösungsweg mit der Gleichung mit den zwei Produkten zu entscheiden.
Da man bekanntlich eine Division als Bruch schreiben kann, ist im vorletzten Schritt auch folgende Schreibweise möglich:
| x = | 5 € · 7 Tage |
| 10 € |
In dieser Schreibweise kann man besser kürzen (falls möglich) und sieht, wie die Einheit Euro durch Kürzen wegfällt.
Man kann die Aufgabe auch lösen, indem man den Proportionalitätsfaktor ermittelt. Schauen wir uns das im Detail an.
Die indirekte Proportionalität besteht zwischen den gleichartigen Größen in der Bedingung und der Frage:
Wenn wir schon jetzt (wie bei den geraden Dreisatzaufgaben) probieren, auszurechnen, wie lange das Geld reicht (7 Tage multipliziert mit dem ermittelten Faktor von 2), sehen wir, dass das Ergebnis 14 nicht stimmen kann. Denn es müssen ja weniger Tage werden und nicht mehr. Sehen wir uns deshalb auch das zweite Zahlenpaar an:
Wir sehen, dass der Proportionalitätsfaktor jetzt 0,5 ist, und 0,5 ist offensichtlich nicht gleich 2. Trotzdem besteht zwischen den Zahlenpaaren ein Verhältnis, es ist aber indirekt proportional: Im ersten Zahlenpaar wird die 5 verdoppelt zu 10, im zweiten Zahlenpaar wird die 7 halbiert zu 3,5. Der Proportionalitätsfaktor ist einmal die 2 und einmal der Kehrwert von 2, also 0,5.
Wenn man die Sache mit dem Kehrwert verstanden hat, ist der Lösungsweg einfach:
Für die konkrete Aufgabe sieht das so aus:
Das war's schon.
Offen gesagt, ist dieser Lösungsweg kein neuer Lösungsweg. Vielmehr bringen wir die drei Schritte des 2. Lösungsweges in einer Verhältnisgleichung zusammen. Aber der Reihe nach:
Wir haben bereits im 2. Lösungsweg die Proportionalitätsfaktoren wie folgt ermittelt:
Da auf den rechten Seiten der Gleichungen 2 nicht gleich 5 ist, können wir die linken Seiten auch nicht einfach gleichsetzen. Trotzdem wissen wir ja, dass zwischen den beiden linken Seiten der Gleichungen ein mathematischer Zusammenhang bestehen muss. Denn die rechten Seiten sind zwar einander nicht gleich, sondern indirekt proportional (0,5 ist der Kehrwert von 2 und auch umgekehrt ist 2 der Kehrwert von 0,5).
Das ist der Lösungsansatz: Genau derselbe Zusammenhang besteht zwischen den linken Seiten der Gleichung: 10 : 5 ist nicht gleich 3,5 : 7, sondern 10 : 5 ist gleich dem Kehrtwert von 3,5 : 7.
Was aber ist der Kehrwert von 3,5 : 7? Laut Definition ist der Kehrwert einer Zahl gleich 1 geteilt durch die Zahl, es sieht also nach einem komplizierten Ausdruck aus. Aber hier hilft die Schreibung der Division als Bruch, denn es ist ganz einfach, von einem Bruch den Kehrwert zu bilden => man vertauscht einfach Zähler und Nenner:
| 3,5 : 7 = | 3,5 | Kehrwert: | 7 |
| 7 | 3,5 |
Jetzt setzen wir diesen Kehrwert in die Gleichung ein:
| 10 | = | 7 |
| 5 | 3,5 |
Wir setzen x für 3,5 ein, formen um und lösen:
| 10 | = | 7 |
| 5 | x |
| x = | 5 · 7 |
| 10 |
| x = 3,5 |
Das war's schon. Zugegeben, dieser Lösungsweg erfordert etwas mehr mathematisches Verständnis und Abstraktionvermögen als der erste. Jedoch zeigt er am deutlichsten, warum Dreisatzaufgaben mit direkt und indirekt proportionalen Verhältnissen mathematisch eine Aufgabengruppe bilden: Der universelle Lösungsansatz besteht im Aufstellen einer Verhältnisgleichung (auch Proportionalgleichung genannt).
Als letzter Hinweis für Interessierte, die sich indirekte Proportionalität bildlich vorstellen wollen: Das konkrete indirekt proportionale Verhältnis ist keine lineare Funktion (= Gerade wie beim "geraden" Dreisatz), sondern eine Hyperbel (= Kurve beim "ungeraden" Dreisatz). Wem Hyperbel als Bild nicht hilft, der kann sich vorstellen, dass er für eine größere Party 16 quadratische Tische zu einer großen Tafel zusammenstellen muss: Die Tafel kann 16 Tische lang und 1 Tisch breit sein oder 8 x 2 oder 4 x 4 oder 2 x 8 oder 1 x 16. Die genannten Zahlenpaare ergeben eingetragen in einem Koordinatensystem eine Kurve, die man Hyperbel nennt.
Worauf es bei den Aufgaben ankommt, ist das Verstehen der Aufgabe und das Formulieren der Gleichung zur Lösung. Das Ausrechnen ist nicht schwer - es gibt ja Taschenrechner.
Welchen Lösungsweg du bevorzugst, ist dabei egal, denn nach dem Umstellen nach der gesuchten Größe sehen die Formeln für den 1. und 3. Lösungsweg ja gleich aus. Falls du nach dem 2. Lösungsweg vorgehst, kannst du nur das Ergebnis vergleichen.
| Beispielaufgabe mit Lösung | |||||
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| Der Herr Bankdirektor Alois Scherflein kommt mit seinem Geld 16 Tage aus, wenn er täglich 240,00 € ausgibt. Wie viel Geld könnte er ausgeben, wenn es für 20 Tage reichen müsste? | |||||
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Zu jeder Aufgabe gibt es einen Lösungsvorschlag mit Lösungsweg. Der Lösungsvorschlag richtet sich nach dem Text in der Aufgabe. Es wird versucht, das Verhältnis der Aufgabe in gegeben und gesucht kurz und präzise zu formulieren. In gesucht steht immer der gesuchte Wert x vorn.
Die Gleichung für die Lösung ist die lange Form der nach x umgestellten Verhältnisgleichung mit allen eingesetzten Werten. Die Klammern sind zwar nicht nötig, aber sie sollen verdeutlichen, welche Zahlen "zusammengehören". Man könnte die Gleichung auch als Bruch schreiben, das erfordert in HTML aber ziemlich viel Markup.
