Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:
| Gesucht | ||
|---|---|---|
| 1.) | cm | |
| 2.) | cm² | |
Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:
Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden.
Die Berechnungen sind recht einfach. Neben den Grundrechenarten sind bei Anwendung des Satzes des Pythagoras und des Höhensatzes auch Wurzeln zu ziehen, was mit dem Taschenrechner oder Wurzeltabellen in Formelsammlungen oder Mathematikbüchern geht.
Die Dreiecke in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.
Hinweis: Trigonometrische Fragestellungen, also nach Winkeln und deren Bestimmung unter Verwendung von Winkelfunktionen spielen bei diesen Aufgaben keine Rolle.
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (a = b) und zwei gleich großen Winkeln (α = β). Die gleich langen Seiten werden Schenkel genannt, die dritte Seite (c) ist die Basis.
Die Höhe hc halbiert Basis c. Die beiden dadurch entstehenden Dreiecke mit den Seiten hc, a, c/2 und hc, b, c/2 sind rechtwinklig und gleich groß. Dabei wird die Seite c/2 für eine Reihe von Berechnungen verwendet.
Da in rechtwinkligen Dreiecken der Satz des Pythagoras gilt, kann bei bekannter Länge eines Schenkels und der Basis die Höhe oder bei bekannter Höhe und einer weiteren Seiten die Länge der fehlenden Seite berechnet werden.
Man benötigt also mindestens zwei gegebene Größen (Seitenlängen von Schenkel und Basis oder eine Seitenlänge und die Höhe), um Umfang und Flächeninhalt zu berechnen.
Wie das geht, wird im Folgenden im Detail gezeigt.
Herleitung der Formel
Bekanntlich gilt nach dem Satz des Pythagoras a² + b² = c². Für das Dreieck in unserem Fall gilt bei Verwendung von c/2 für die durch die Höhe h halbierte Seite c daher:
| Wir stellen nach h um. | |
| Nun ziehen wir die Wurzel. | |
| Mit dieser Formel lässt sich die Höhe bei gegebener Schenkel- und Basislänge berechnen. In vielen Lehrbüchern und Formelsammlungen wird c Halbe zum Quadrat noch ausmultipliziert, wodurch die Klammern wegfallen. | |
| Welche der beiden Formeln man bevorzugt, ist Geschmackssache, denn sie sind inhaltlich gleich, unterscheiden sich nur in der Schreibweise. Manche lernen gern Formeln, andere lernen lieber den Grundzusammenhang (hier den Satz des Pythagoras) und stellen ihn für die gegebene Aufgabe um. |
Lösung unter Anwendung der Formel
| Wir setzen für a die in der Beispielaufgabe oben gegebene Schenkellänge von 5 cm und die Basislänge von 6 cm ein, auf die Einheit verzichten wir der Übersichtlichkeit halber. Danach berechnen wir die Quadrate. | |
| Wir kürzen die 36 Viertel. | |
| h = √25 - 9 | Wir bilden die Differenz. |
| h = √16 | Wir ziehen die Wurzel aus 16. |
| h = 4 cm | Zum selben Ergebnis gelangt man, wenn man statt mit 6 cm für die Basis gleich mit der Hälfte, also 3 cm rechnet. Dann ist der Lösungsweg kürzer:
|
Herleitung der Formel
Bekanntlich gilt nach dem Satz des Pythagoras a² + b² = c². Für ein gleichschenkliges Dreieck mit gegebener Höhe und Schenkellänge gilt bei Verwendung von c/2 für die durch die Höhe h halbierte Seite c daher:
| Da die gesuchte Größe die Basis c ist, stellen wir nach c um. | |||||
| Nun ziehen wir die Wurzel. | |||||
| Wir multiplizieren mit zwei. | ||||
| c = 2 · √a² - h² | Mit dieser Formel lässt sich die Basis c berechnen. |
Lösung unter Anwendung der Formel
Da in der Beispielaufgabe oben die Schenkellänge von 5 cm und die Basis von 6 cm bereits vorgegeben sind, nehmen wir für unser Rechenbeispiel an, die Höhe von 4 cm wäre gegeben und die Basis gesucht.
| c = 2 · √5² - 4² | Wir setzen für a 5 cm und für h 4 cm ein. Danach berechnen wir die Quadrate. |
| c = 2 · √25 - 16 | Wir bilden die Differenz. |
| c = 2 · √9 | Wir ziehen die Wurzel aus neun. |
| c = 2 · 3 | Wir multiplizieren zum Endergebnis. |
| c = 6 cm | Die gesuchte Länge der Basis c beträgt also 6 cm. |
Herleitung der Formel
Bekanntlich gilt nach dem Satz des Pythagoras a² + b² = c². Für ein gleichschenkliges Dreieck mit gegebener Höhe h und Basis c gilt bei Verwendung von c/2 für die durch die Höhe h halbierte Seite c daher:
| Da die gesuchte Größe die Schenkellänge a ist, stellen wir nach a um, indem wir die Seiten vertauschen. | |
| Nun ziehen wir die Wurzel. | |
| Mit dieser Formel lässt sich die Schenkellänge a berechnen. Wer möchte, kann auch noch c Halbe im Quadrat zu a² Viertel ausmultiplizieren. Dadurch würde die Klammer wegfallen. Für praktische Berechnungen ist es jedoch einfacher, erst den Wert für c/2 zu berechnen und dann zu quadrieren. |
Lösung unter Anwendung der Formel
Da in der Beispielaufgabe oben die Schenkellänge von 5 cm und die Basis von 6 cm bereits vorgegeben sind, nehmen wir für unser Rechenbeispiel an, die Höhe von 4 cm wäre gegeben und die Schenkellänge gesucht.
| Wir setzen für c 6 cm und für h 4 cm ein und ermitteln der Wert von 6/2, was man in der Praxis sofort machen würde, aber hier ganz ausführlich Schritt für Schritt. | |
| a = √3² + 4² | Wir bilden die Quadrate. |
| a = √9 + 16 | Wir bilden die Summe. |
| a= √25 | Wir ziehen die Wurzel aus 25. |
| a = 5 cm | Die gesuchte Schenkellänge a beträgt also 5 cm. |
Da die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich lang sind, berechnet man den Umfang wie folgt:
u = 2a + c
Der Umfang des Dreiecks aus der Beispielaufgabe beträgt also:
u = 2 · 5 cm + 6 cm
u = 16 cm
Sollten statt der Schenkel- oder Basislänge die Höhe gegeben sein, so ist der fehlende Wert entsprechend zu berechnen. Wie das geht, wurde bereits weiter oben gezeigt.
Herleitung der Formel
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken (Grundseite mal Höhe geteilt durch 2) lässt sich natürlich auch auf gleichseitige Dreiecke anwenden, besonders wenn Seitenlänge und Höhe bereits bekannt sind.
| Wir ersetzen nur die Grundseite g durch c und haben bereits die fertige Formel. | ||||
| Sollte die Höhe h allerdings nicht bekannt sein, kann man den Flächeninhalt auch berechnen, ohne zuerst die Höhe zu ermitteln. Dazu verwenden wir die weiter oben hergeleitete Formel für die Höhe h. Bevor wir h ersetzen, ändern wir die Schreibweise der Formel ein wenig, in dem wir das h aus dem Bruch nehmen. | ||||
| Nun ersetzen wir h durch die weiter oben hergeleitete Formel. | ||||
| Die Formel sieht zwar kompliziert aus, aber wenn man zuerst die fehlende Höhe berechnet, macht man im Grunde das Gleiche, nur in einem extra Schritt. |
Lösung mit Anwendung der allgemeinen Flächenformel bei gegebener Basis und Höhe
Da in der Beispielaufgabe oben die Schenkellänge von 5 cm und die Basis von 6 cm vorgegeben sind, nehmen wir für unser Rechenbeispiel an, die Höhe von 4 cm wäre auch gegeben.
| Wir setzen für c die Basis von 6 cm und die Höhe von 4 cm ein und multiplizieren. | |||
| Wir dividieren. | |||
| Die Fläche des Dreiecks beträgt 12 cm². |
Lösung ohne gegebene Höhe
| Wir setzen für a die in der Beispielaufgabe oben gegebene Schenkellänge von 5 cm und für c die Basislänge von 6 cm ein und ermitteln dann den Wert für 6/2 , was man in der Praxis sofort machen würde, aber hier ganz ausführlich Schritt für Schritt. Auf die Einheit verzichten wir der Übersichtlichkeit halber. | |
| A = 3 · √52 - 32 | Wir quadrieren. |
| A = 3 · √25 - 9 | Wir subtrahieren. |
| A = 3 · √16 | Wir ziehen die Wurzel aus 16. |
| A = 3 · 4 | Wir multiplizieren. |
| A = 12 cm² | Die Fläche des Dreiecks beträgt 12 cm². |
Die Formeln zu den Berechnungen bei gleichschenkligen Dreiecken sind keine besonderen Formeln, sondern Abwandlungen des Satzes des Pythagoras und der allgemeinen Formel zur Flächenberechnung (Dreiecksfläche gleich Hälfte von Grundseite mal Höhe).
Alle Umformungen beruhen darauf, dass die Schenkel gleich lang sind und die Höhe auf die Basis diese halbiert.
Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:
| Nr. | Gesucht | Ergebnis | Lösungshinweise | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1. Teilaufgabe | gesucht: Umfang | Ergebnis: 16 m | Lösungshinweise: gegeben: Dreieck mit den Schenkeln a = b = 5 m und der Basis c = 6 m gesucht: Umfang u Lösung: u = 2a + c u = 2 · 5 m + 6 m u = 16 m | |||||||
2. Teilaufgabe | gesucht: Flächeninhalt | Ergebnis: 12 m² | Lösungshinweise: gegeben: Dreieck mit den Schenkeln a = b = 5 m und der Basis c = 6 m gesucht: Flächeninhalt A Lösung: Werte in die Formel einsetzen:
A = 3 m · √(5 m)2 - (3 m)2 A = 3 m · √25 m² - 9 m² A = 3 m · √16 m² A = 3 m · 4 m A = 12 m² |
