Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:
| Gesucht | ||
|---|---|---|
| 1.) | Umfang: | cm |
| 2.) | Flächeninhalt: | cm² |
Je nach dem, was gegeben ist - zwei Seiten, drei Seiten, eine Seite und die Höhe oder ein Hypotenusenabschnitt oder Umfang oder Fläche - sind Umfang und Fläche oder fehlende Seiten und Umfang oder Fläche zu berechnen.
Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen zu runden.
Die Berechnungen sind recht einfach. Neben den Grundrechenarten sind bei Anwendung des Satzes des Pythagoras und des Höhensatzes auch Wurzeln zu ziehen, was mit dem Taschenrechner oder Wurzeltabellen in Formelsammlungen oder Mathematikbüchern geht.
Die Dreiecke in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.
Hinweis: Trigonometrische Fragestellungen, also nach Winkeln und deren Bestimmung unter Verwendung von Winkelfunktionen spielen bei diesen Aufgaben keine Rolle.
Grundbegriffe:
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem 90°-Winkel (= rechter Winkel).
Die Seiten, die den rechten Winkel bilden, nennt man Katheten.
Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
Üblicherweise werden rechtwinklige Dreiecke wie in der Abbildung dargestellt.
Zum Eckpunkt A gehört der Winkel α (alpha) und die gegenüberliegende Seite a.
Zum Eckpunkt B gehört der Winkel β (beta) und die gegenüberliegende Seite b.
Zum Eckpunkt C gehört der Winkel γ (gama) von 90° und die gegenüberliegende Seite c, die Hypotenuse.
Die Höhe hc auf die Hypotenuse teilt diese in die Hypotenusenabschnitte q und p.
Bei den Katheten unterscheidet man, bezogen auf die Winkel, Gegenkathete und Ankathete. Für den Winkel α ist die Seite a die Gegenkathete (sie liegt dem Winkel α gegenüber) und die Seite b die Ankathete (sie liegt an dem Winkel α an). Für den Winkel β ist es genau umgekehrt.
Für rechtwinklige Dreiecke gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats ist (siehe Abbildung).
Kathetensätze
Die Kathetensätze sagen aus, dass die Quadratfläche über einer Kathete gleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt ist, der auf der Seite der Kathete liegt.
Höhensatz
Der Höhensatz sagt aus, dass das Quadrat über der Höhe gleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten ist.
Interessierte finden im Artikel Satzgruppe des Pythagoras in der Wikipedia weiterführende Informationen.
Sind alle drei Seiten des bekannt, so berechnet man den Umfang u des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten a, b und c durch Addition der Seitenlängen.
Umfang u = Seite a + Seite b + Seite c, also:
u = a + b + c
Der Umfang des Dreiecks aus der Beispielaufgabe beträgt also:
u = 3 cm + 4 cm + 5 cm
u = 12 cm
Sollten nur zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gegeben sein, so kann man die fehlende Seite mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Wären in der Beispielaufgabe nur die Seiten a = 3 cm und b = 4 cm gegeben, so könnte man die Länge der Seite c wie folgt berechnen:
a² + b² = c² | √
√a² + b² = c
√(3 cm)² + (4 cm)² = c
√9 cm² + 16 cm² = c
√25 cm² = c
c = 5 cm
Wären in der Beispielaufgabe nur die Seiten a = 3 cm und c = 5 cm gegeben, so könnte man die Länge der Seite b wie folgt berechnen:
a² + b² = c² | - a²
b² = c² - a²| √
b = √c² - a²
b = √(5 cm)² - (3 cm)²
b = √25 cm² - 9 cm²
b = √16 cm²
b = 4 cm
Wären in der Beispielaufgabe nur die Seiten b = 4 cm und c = 5 cm gegeben, so müsste man entsprechend nach a umstellen.
Variante 1: Sind die Hypotenuse c und die Höhe auf die Hypotenuse hc gegeben, so beträgt der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks die Hälfte des Rechtecks mit den Seiten c und hc.
| A = | c · hc |
| 2 |
Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks aus der Beispielaufgabe beträgt bei einer Höhe h = 2,4 cm also:
| A = | 5 cm · 2,4 cm |
| 2 |
| A = | 12 cm² |
| 2 |
A = 6 cm²
Variante 2: Sind die Seiten a und b gegeben, so beträgt der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks die Hälfte des Kathetenrechtecks mit den Seiten a und b.
| A = | a · b |
| 2 |
Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks aus der Beispielaufgabe beträgt also:
| A = | 3 cm · 4 cm |
| 2 |
| A = | 12 cm² |
| 2 |
A = 6 cm²
Da beide Varianten zum selben Ergebnis führen müssen, kann man sie als Kontrolle benutzen, ob man richtig gerechnet hat, zum Beispiel wenn man die Höhe berechnen musste.
Hinweis
Die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts bei rechtwinkligen Dreiecken sind keine besonderen Formeln, sondern Abwandlungen der allgemeinen Formel (Dreiecksfläche gleich Hälfte von Grundseite mal Höhe):
| A = | g · hc |
| 2 |
In einem Dreieck mit den Seiten a, b und c kann der Flächeninhalt auf drei Wegen berechnet werden, je nach dem, welche Seite als Grundseite verwendet wird:
| A = | a · ha | = | b · hb | = | c · hc |
| 2 | 2 | 2 |
Nimmt man beim rechtwinkligen Dreieck die Seite a als Grundseite, so entspricht die Höhe ha genau der Seite b und für die Seite b ist die Höhe hb gleich der Seite a.
Die Höhe hc teilt das rechtwinklige Dreieck ABC wiederum in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a, p und hc und b, q und hc. Sind a und p bzw. b und q bekannt, kann man hc mit dem Satz des Pythagoras ermitteln.
Wie lang die Hypotenusenabschnitte p und q sind, lässt sich mit Hilfe der Kathetensätze berechnen. Dazu stellt man die Kathetensätze nach dem gesuchten Hypotenusenabschnitt um.
Hypotenusenabschnitt p:
| a² = c · p => p = | a² |
| c |
Hypotenusenabschnitt q:
| b² = c · q => q = | b² |
| c |
Wir setzen die Werte aus der Beispielaufgabe ein, also a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm:
Hypotenusenabschnitt p:
| p = | a² | = | (3 cm)² | = | 9 cm² | = 1,8 cm |
| c | 5 cm | 5 cm |
Hypotenusenabschnitt q:
| q = | b² | = | (4 cm)² | = | 16 cm² | = 3,2 cm |
| c | 5 cm | 5 cm |
Die ermittelten Hypotenusenabschnitte verwenden wir jetzt zur Berechnung der Höhe hc:
mit Hypotenusenabschnitt p
p² + hc² = a² | - p²
hc² = a² - p²| √
hc = √a² - p²
hc = √(3 cm)² - (1,8 cm)²
hc = √9 cm² - 3,24 cm²
hc = √5,76 cm²
hc = 2,4 cm
mit Hypotenusenabschnitt q
q² + hc² = b² | - q²
hc² = b² - q²| √
hc = √b² - q²
hc = √(4 cm)² - (3,2 cm)²
hc = √16 cm² - 10,24 cm²
hc = √5,76 cm²
hc = 2,4 cm
Beide Rechenwege des sehr ausführlichen Beispiels führen zum selben Ergebnis.
Bei bekannten Hypotenusenabschnitten p und q kann die Höhe hc auch mit dem Höhensatz berechnet werden:
Wir setzen die Zahlenwerte in die Formel ein und berechnen:
h = √1,8 cm · 3,2 cm
h = √5,76 cm²
h = 2,4 cm
Sind die Hypotenusenabschnitte nicht gegeben, dafür aber die Seiten a, b und c, so kann die Höhe direkt berechnet werden, ohne einen der Hypotenusenabschnitte zu berechnen. Dazu kombinieren wir die Kathetensätze mit dem Höhensatz. Oben haben wir als Erstes die Kathetensätze nach den gesuchten Hypotenusenabschnitten umgestellt. Wir ersetzen im Höhensatz p und q durch die entsprechenden Terme:
| h² = p · q => h² = | a² | · | b² | = | a² · b² |
| c | c | c² |
Nun muss man nur noch die Wurzel ziehen:
Wir lösen schrittweise zur Kontrolle und setzen zunächst die Werte aus der Aufgabe ein:
Nun quadrieren wir.
Wir multiplizieren und dividieren.
Jetzt ziehen wir die Wurzel.
h = 2,4 cm
Die Höhe beträgt 2,4 cm.
Die Höhe kann also mit Hilfe der einzelnen Hypotenusenabschnitte oder durch Kombination der Kathetensätze mit dem Höhensatz berechnet werden.
Die Höhe mit Hilfe von Proportionalitäten berechnen
Proportionalitäten im rechtwinkligen Dreieck
Falls die Seiten a, b und c bekannt sind, gibt es übrigens noch einen weiteren und kürzeren Rechenweg zur Bestimmung der Höhe, der ohne Wurzelziehen auskommt, denn das Verhältnis der Seite b zur Seite c ist dasselbe wie das Verhältnis der Höhe hc zur Seite a, es gilt also:
| b | = | hc | => hc = | a · b |
| c | a | c |
Wir setzen die Werte aus dem Beispiel ein:
| hc = | 3 cm · 4 cm | = 2,4 cm |
| 5 cm |
Warum das so ist, kann man anhand der Abbildung erkennen. Die Höhe hc teilt das Dreieck ABC in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten hc, p und a (blau) und hc, q und b (rot).
Legt man diese drei Dreiecke am Winkel α übereinander, so sieht man, dass sich die Seiten proportional verändern müssen, denn die Winkel in den Dreiecken sind gleich groß.
Je nach gegebenen und gesuchten Werten stellt man die entsprechende Verhältnisgleichung auf - also Ankathete zu Gegenkathete oder Ankathete zu Hypotenuse oder Gegenkathete zu Hypotenuse oder auch alles umgekehrt - und stellt nach der gesuchten Größe um.
Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:
| Nr. | Gesucht | Ergebnis | Lösungshinweise | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1. Teilaufgabe | gesucht: Umfang | Ergebnis: 12 dm | Lösungshinweise: gegeben: Dreieck mit den Seiten a = 3 dm, b = 4 dm und c = 5 dm gesucht: Umfang u Lösung: u = a + b + c u = 3 dm + 4 dm + 5 dm u = 12 dm | ||||||
2. Teilaufgabe | gesucht: Flächeninhalt | Ergebnis: 6 dm² | Lösungshinweise: gegeben: Dreieck mit den Seiten a = 3 dm und b = 4 dm gesucht: Flächeninhalt A Lösung:
A = 6 dm² |
